Simulando la vuelta a la normalidad: la teoría de grafos y el Covid-19

Una vez que parece que hemos conseguido el llamado efecto de “aplanar la curva”, muchas preguntas ahora se dirigen hacia cómo volvemos a la normalidad y los posibles efectos que esto puede tener en posibles repuntes en la tasa de contagio del Covid-19.

En la primera etapa de la epidemia, modelos matemáticos epidemiológicos como los modelos SI, SIR,  SEIR han sido muy populares para describir, explicar y predecir la dispersión del virus y su impacto en la población según diferentes escenarios y, con ello, ayudar en la toma de decisiones. Estos modelos matemáticos  epidemiológicos se caracterizan por ser compartimentales donde, a partir de un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden no lineales, se divide a la población en diferentes compartimentos según sea su estado respecto a la epidemia y utilizan parámetros que determinan cómo transitan las personas entre los distintos estados.

En la figura 1 se muestra una representación gráfica que describe el modelo SEIR incorporando los estados de hospitalizados y críticos implementado por Keepler para hacer predicciones sobre la evolución de la epidemia: https://keepler.io/covid19

Figura 1: Modelo SEIR implementado por Keepler.

Estos modelos matemáticos epidemiológicos pueden ser de dos tipos:

• Deterministas: las mismas entradas al modelo producirán invariablemente las mismas salidas, no contemplándose la existencia del azar ni el principio de incertidumbre dando como resultado una única solución.
• Estocásticos: hay incertidumbre sobre los factores que inciden en la expansión del virus, de ahí que cada uno de los resultados posibles se genera con una  “probabilidad”, por lo tanto, existe la posibilidad de que la epidemia se extinga.

En ambos modelos su principal finalidad es calcular el número de reproducción básica, R₀. El R₀ nos ayuda a tener una posible evolución de la epidemia, su tamaño y cuándo podríamos saber que la expansión del virus empieza a disminuir y se estabiliza. Este parámetro se define como el promedio de infecciones causadas por un individuo infeccioso durante su periodo de infecciosidad cuando entra en contacto con una población de susceptibles. Si R₀ > 1 el virus se sigue expandiendo mientras que si R₀ <  1 la enfermedad acabará por desaparecer. Si R₀ =  1 cada individuo se reemplazará a sí mismo y no se producirá epidemia.

Uno de los principales objetivos de las medidas de confinamiento ha sido, precisamente, intentar controlar y reducir al mínimo las tasas de contagio y de este modo poder controlar la expansión de la curva y evitar el colapso de los recursos sanitarios. Pero, ahora que nuestra tasa de reproducción está por debajo de 1,  ¿cómo revertimos las medidas de confinamiento?

Los modelos matemáticos epidemiológicos suponen que la población es homogénea y que las interacciones entre los individuos de una población son aleatorias siguiendo una distribución de Poisson. Esta presunción de interacción aleatoria ofrece una importante ventaja porque puede formularse con facilidad mediante ecuaciones diferenciales. 

De cara a cuantificar un posible efecto rebote en la tasa de contagio con la vuelta progresiva a la normalidad, partir de la suposición que cada individuo tiene el mismo número esperado de contactos y que hay una interacción aleatoria entre ellos podría resultar una presunción razonable para algunas epidemias pero no para todas. La importancia del patrón de contacto es una función del grado de expansión del virus. Cuanto más estrecho sea el contacto para producir la transmisión, más importante resulta el patrón de contacto. Aquí es donde entra en juego la teoría de grafos. Con la teoría de grafos vamos a transformar nuestro modelo SEIR determinista en uno estocástico que tengan en cuenta una red.

La teoría de grafos es una rama de las matemáticas donde se trata de analizar las personas en base a las relaciones existentes entre ellas y eso graficarlo para mostrar los patrones de esas relaciones en una población. Estos patrones de contacto o relación conectan a los individuos formando redes, más simples o más amplias, que influyen de manera notable en la dispersión de una enfermedad infecciosa.  La figura 2 muestra los elementos principales de un grafo: el nodo que sería una persona y la arista es el modo de conexión entre dos nodos.

Figura 2. Elementos de un grafo.

El modelo de Watts y Strogats es uno de los más usados para modelar la transmisión de enfermedades infecciosas durante un etapa de restricciones de movimiento. Según este modelo, cada nodo, o lo que es lo mismo, cada persona se comunica con sus k (número de nodos a los que está conectado)  vecinos inmediatos, y sólo alguno de los nodos, además de comunicarse con sus k vecinos inmediatos, se comunican con algunos otros nodos más lejanos (contactos a distancia). Estos últimos nodos serían aquellas personas que tienen que desplazarse y estar en contacto con más nodos por desempeñar una actividad esencial. Esto significa que, durante el confinamiento,  el patrón de contactos entre individuos de una sociedad (especialmente en las grandes ciudades) ahora se reformula en una red de mundo pequeño, donde cada individuo se representa por un nodo o vértice y los contactos entre individuos se representan por ligas y la transmisión de la enfermedad puede tener lugar sólo a través de estos nexos.

El modelo de Watts y Strogatz utiliza para su representación tres parámetros: 

1. El coeficiente de agrupamiento (indica cómo de acumulados están los nodos de la red) elevad.
2. La distancia media entre vértice.
3. Distribución de Grados: P(K), probabilidad de que un nodo tenga un grado k, donde k es el número de nodos conectados a él. Esta probabilidad sigue una distribución de Poisson y según esta aumenta, aumenta la aleatoriedad en la red.

Figura 3. Efecto aumentar la probabilidad en el modelo Watts y Strogatz.

El modelo de  Watts y Strogatz construye redes con homogéneas, pero conforme se levante las medidas de confinamiento, nuestra red se va acercar más al modelo de Barabasi-Albert, donde la red se construye en base a una vinculación preferencial y donde la distribución de probabilidad de tener cierto número de conexiones ya no es aleatoria ni homogénea. sino que sigue una distribución de “colas pesadas” dando lugar a nodos con conexiones heterogéneas.

Figura 4. Comparación entre una red Watts y Strogatz y una red Barabási y Albert.

A continuación se presenta un ejercicio de simulación de un modelo SEIR incorporando modelo de Barabasi-Albert con una red de 10000 nodos. En la figura 5 se comprara las distribución del número de contactos de nuestra red de 10000 nodos según sean más o menos restrictivas las medidas de distanciamiento social.  

Antes del confinamiento, la probabilidad de contagio de un nodo a otro era de pβ mientras que durante un periodo de confinamiento estricto o de cuarentena pasaremos esa probabilidad de contagio para a ser de qpβ. El gráfico muestra que en condiciones normales tendríamos en media 13 contactos mientras que, durante las medidas de confinamiento o la cuarentena de una persona infectada, estos contactos son en media 2 y con medidas sociales más o menos restrictivas estaríamos entre 4 y 7.

Figura 5. Comparación del efecto de distintas medidas sobre el número de contactos en la red.

Por último, en la figura 6 se representa el modelo SEIR determinista descrito en la figura 1 con medidas de intervención versus los tres modelos de la figura 7 donde se representa un modelo SEIR incorporando una red de 10000 nodos y medidas de intervención. 

En los modelos representados en la figura 7 se incluye en la simulación un cambio en el valor de los parámetros, tanto a partir del día 40 desde que apareció el primer caso de Covid-19 en España, con la entrada en vigor de las medidas de confinamiento y el día 100, que se corresponde con el 2 de mayo, es cuando esas medidas de restricción sociales se empiezan a aliviar. La curva de infectados se ha comparado con la que se obtendría sin aplicar esas medidas, distinguiendo el resultado de infectados con un modelo SEIR determinístico y un modelo SEIR con red. Vemos que el modelo SEIR en una versión determinista da una curva más pronunciada que un modelo SEIR con red donde la propagación es algo más suavizada porque no todos los nodos de la red tienen la misma probabilidad de contagiarse. Además en la figura 7 se ha distinguido, del total infectados los que serían detectados (DE ).

Figura 6. Modelo SEIR determinista con medidas de confinamiento.

Figura 7. Modelo SEIR con red y medidas sociales vs Modelo SEIR sin medidas (con y sin red).

La incorporación de elementos más reales al modelo SEIR (mayor sofisticación), exige una mayor cantidad de parámetros a calcular, mayor número de supuestos y, todo eso, además,  dependiente de la disponibilidad de los datos y de la metodología utilizada para su extracción. Por ello, los resultados del modelo deben tomarse en estos casos con cautela. 

En la figura 4, en el modelo de Barabasi-Albert los nodos en rojo serían podríamos decir que son los hubs. En nuestro contexto del Covid-19 parece razonable pensar que, entre todos los nodos que hay en la red, lo crucial es identificar los nodos más influyentes porque serán aquellos que maximicen la propagación del virus.  Pero, ¿por qué es importante encontrar al nodo más influyente?

1. Tanto de cara a cómo programar las medidas de desescalamiento en funciones de rangos de edad, municipios, sectores de actividad económica.
2. A la hora de decidir qué grupos de población primero han de ser vacunados porque sean los mayores transmisores de este virus.

En una sociedad cada vez más conectada e interdependiente, el tratar de modelar la dinámica de transmisión de una epidemia se vuelve una tarea compleja. Los resultados obtenidos en la simulación nos muestran la importancia de incorporar en nuestro modelo SEIR el cómo las sociedades conectan entre ellas para entender mejor y hacer un análisis más realista de la difusión del Covid-19 y de su posible evolución con la progresiva vuelta a la normalidad.